Dilatasi skala, atau sering disebut juga dengan perkalian skala, adalah salah satu jenis transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek tanpa mengubah bentuknya. Bayangkan sebuah foto yang diperbesar atau diperkecil; itulah contoh sederhana dari dilatasi. Konsep ini sangat penting dalam berbagai bidang, mulai dari desain grafis, arsitektur, hingga matematika murni.
Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai dilatasi skala, mulai dari pengertian dasar, rumus yang digunakan, sifat-sifatnya, hingga contoh soal beserta pembahasannya. Dengan memahami konsep ini, Anda akan lebih mudah menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan transformasi geometri, khususnya dilatasi.
Pengertian Dilatasi Skala
Secara sederhana, dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak setiap titik pada suatu objek dari titik pusat dilatasi. Besar perubahan jarak ini ditentukan oleh faktor skala (k). Jika faktor skala lebih besar dari 1 (k > 1), objek akan diperbesar. Sebaliknya, jika faktor skala antara 0 dan 1 (0 < k < 1), objek akan diperkecil. Jika k = 1, maka objek tidak mengalami perubahan (identitas).
Penting untuk diingat bahwa dilatasi hanya mengubah ukuran, bukan bentuk objek. Artinya, sudut-sudut pada objek tidak akan berubah setelah dilatasi. Bayangkan sebuah lingkaran yang diperbesar; bentuknya tetap lingkaran, hanya ukurannya yang berbeda.
Rumus Dilatasi Skala
Rumus dilatasi bergantung pada titik pusat dilatasi. Jika titik pusat dilatasi adalah titik O(0,0), maka rumusnya cukup sederhana. Misalkan titik P(x,y) didilatasikan dengan faktor skala k, maka bayangan titik P’, yaitu P'(x’,y’), dapat dihitung dengan rumus:
x’ = k * x dan y’ = k * y. Secara matriks, rumus ini dapat ditulis sebagai: [x’] = [k 0] [x] [y’] [0 k] [y] . Jika titik pusat dilatasi bukan di O(0,0), melainkan di titik A(a,b), maka rumusnya sedikit lebih kompleks, yaitu: x’ = a + k(x – a) dan y’ = b + k(y – b).
Sifat-Sifat Dilatasi Skala
Dilatasi memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami. Pertama, dilatasi mengubah ukuran objek, tetapi tidak mengubah bentuknya. Kedua, dilatasi mengubah jarak titik-titik pada objek dari titik pusat dilatasi sesuai dengan faktor skala. Ketiga, jika faktor skala positif, maka orientasi objek tidak berubah. Namun, jika faktor skala negatif, maka orientasi objek akan terbalik.
Selain itu, perlu diperhatikan bahwa dilatasi bersifat komutatif jika titik pusat dilatasi sama. Artinya, jika sebuah objek didilatasikan dua kali dengan titik pusat yang sama, urutan dilatasi tidak berpengaruh pada hasil akhir.
Jenis-Jenis Dilatasi Skala
Dilatasi dengan Faktor Skala Positif
Dilatasi dengan faktor skala positif (k > 0) akan memperbesar atau memperkecil objek tanpa mengubah orientasinya. Jika k > 1, objek akan diperbesar. Jika 0 < k < 1, objek akan diperkecil. Contohnya, jika sebuah persegi dengan sisi 2 cm didilatasikan dengan faktor skala 3, maka hasilnya adalah persegi dengan sisi 6 cm.
Dalam kasus dilatasi dengan faktor skala positif, bayangan objek akan memiliki orientasi yang sama dengan objek aslinya. Artinya, jika objek aslinya searah jarum jam, maka bayangannya juga akan searah jarum jam.
Dilatasi dengan Faktor Skala Negatif
Dilatasi dengan faktor skala negatif (k < 0) akan memperbesar atau memperkecil objek dan membaliknya terhadap titik pusat dilatasi. Jika k < -1, objek akan diperbesar dan dibalik. Jika -1 < k < 0, objek akan diperkecil dan dibalik. Contohnya, jika sebuah segitiga didilatasikan dengan faktor skala -2, maka hasilnya adalah segitiga yang lebih besar dan terbalik.
Dalam kasus dilatasi dengan faktor skala negatif, bayangan objek akan memiliki orientasi yang berlawanan dengan objek aslinya. Artinya, jika objek aslinya searah jarum jam, maka bayangannya akan berlawanan arah jarum jam.
Dilatasi dengan Faktor Skala 1
Dilatasi dengan faktor skala 1 (k = 1) tidak akan mengubah ukuran objek sama sekali. Ini disebut sebagai transformasi identitas. Artinya, setiap titik pada objek akan tetap berada pada posisi yang sama setelah dilatasi.
Secara matematis, jika sebuah titik P(x,y) didilatasikan dengan faktor skala 1 terhadap titik pusat dilatasi apa pun, maka bayangan titik P’, yaitu P'(x’,y’), akan sama dengan P(x,y). Rumusnya menjadi: x’ = x dan y’ = y.
Dilatasi dengan Faktor Skala 0
Dilatasi dengan faktor skala 0 (k = 0) akan memetakan semua titik pada objek ke titik pusat dilatasi. Akibatnya, bayangan objek akan menjadi sebuah titik saja, yaitu titik pusat dilatasi itu sendiri.
Secara praktis, dilatasi dengan faktor skala 0 jarang digunakan, kecuali dalam kasus-kasus khusus di mana kita ingin menyederhanakan sebuah objek menjadi sebuah titik. Rumusnya menjadi: x’ = a dan y’ = b, di mana (a,b) adalah koordinat titik pusat dilatasi.
Contoh Soal Dilatasi Skala
Contoh 1: Titik A(2,3) didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat bayangan titik A’. Jawaban: x’ = 2 * 2 = 4 dan y’ = 2 * 3 = 6. Jadi, koordinat bayangan titik A’ adalah (4,6).
Contoh 2: Segitiga ABC dengan titik A(1,1), B(3,1), dan C(1,3) didilatasikan dengan faktor skala -1 terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat bayangan titik-titik A’, B’, dan C’. Jawaban: A'(-1,-1), B'(-3,-1), dan C'(-1,-3).
Penerapan Dilatasi Skala
Dilatasi skala memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai bidang ilmu. Dalam desain grafis, dilatasi digunakan untuk memperbesar atau memperkecil gambar, logo, dan elemen desain lainnya. Dalam arsitektur, dilatasi digunakan untuk membuat model bangunan dengan skala yang berbeda.
Selain itu, dilatasi juga penting dalam bidang kartografi (pemetaan) untuk mengubah skala peta. Dalam matematika, dilatasi digunakan dalam mempelajari kesebangunan dan kongruensi bangun datar.
Kesimpulan
Dilatasi skala adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek tanpa mengubah bentuknya. Konsep ini sangat penting dalam berbagai bidang dan memiliki rumus yang relatif sederhana, tergantung pada titik pusat dan faktor skala dilatasi. Memahami sifat-sifat dilatasi dan jenis-jenisnya akan membantu Anda dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan transformasi geometri.
Dengan menguasai konsep dilatasi skala, Anda akan memiliki pemahaman yang lebih baik mengenai transformasi geometri dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Jangan ragu untuk berlatih mengerjakan contoh soal agar semakin mahir dalam menerapkan rumus dan konsep dilatasi.